题目内容

如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（-
3
2
，
3
2
），且离心率为e=
6
3
，过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，圆C1：x2+y2=
3
4
．
（1）求椭圆的标准方程； 
（2）若点P为椭圆上任意一点，试探讨四边形PQRS与 圆C1的位置关系；
（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（-
3
2
，
3
2
），且离心率为e=
6
3
，通过联立方程组求得a、b的值，即可求出椭圆的标准方程．
（2）设直线QS的方程为y=kx，利用已知条件建立k的等式，财利用方程的基础知识进行化简．
（3）在（2）的基础上求内接菱形PQRS的面积的取值范围，当QS的斜率存在且不为0时，先求出s12=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
，记k+
1
k
=t，由此能求出四边形PQRS面积的取值范围．
解答： 解：（1）由题意可知
3
4a2
+
3
4b2
=1，e=
6
3
，所以
c
a
=
6
3
，则c=
2
， a=
3
，b=1，
所以椭圆方程为
x2
3
+y2=1．（ 4分）
（2）因过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，所以由图形的对称性可知四边形PQRS为菱形，即研究椭圆的任意内接菱形PQRS与圆C1
的位置关系，只需求原点O到它每的每一条边距离d．
当PR的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是
ab
a2+b2
=
3
2
，此时菱形与圆相切．
若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，代入椭圆方程为
x2
3
+y2=1得x2=
a2b2
k2a2+b2
=
3
3k2+1
．
菱形PQRS的四个顶点必然分别在四个象限中，不妨设S、P、Q、R依次在第一二三四象限，
则有S（
3
3k2+1
，
3
k
3k2+1
），将点S坐标中的k换成-
1
k
，则可得P（-
3
k
3+k2
，
3
3+k2
）．
菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是
ab
a2+b2
=
3
2
，此时菱形与圆相切．
则SP2=(
3
3k2+1
+
3
k
3+k2
)2+(
3
k
3k2+1
-
3
3+k2
)2=
(k2+1)2×12
(3k2+1)(3+k2)
，
又OS2=
3(k2+1)
3k2+1
，OP2=
3(k2+1)
3+k2
，记原点到SP的距离为d，
则d2=
OS2•OP2
SP2
=
3(k2+1)
3k2+1
•
3(k2+1)
3+k2
/
(k2+1)2×12
(3k2+1)(3+k2)
=
3
4
，即d=
3
2
=r．
同理可求得原点O到PQ、QR、RS的距离都是
3
2
=r，所以四边形PQRS与 圆C1相切．（9分）
（3）记菱形PQRS的面积为S，当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，S=2ab=2
3
；
若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，
代入椭圆方程为
x2
3
+y2=1得x2=
a2b2
k2a2+b2
=
3
3k2+1
．由（2）知OS2=
3(k2+1)
3k2+1
，OP2=
3(k2+1)
3+k2
，
S=2OS•OP，∴S2=4OS2•OP2=4•
3(k2+1)
3k2+1
•
3(k2+1)
3+k2
，分子分母同时间除以得S2=4•
3(k2+1)
3k2+1
•
3(k2+1)
3+k2
=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
，
记k+
1
k
=t，则t≥2，k2+
1
k2
=t2-2，则S2=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
=
36t2
3t2+4
=
36
3+
4
t2
，
显然S2在t∈[2，+∞）上是单调递增函数，3+
4
t2
∈(3，4]，S2=
36
3+
4
t2
∈[9，12)，则S∈[3，2
3
)，
又当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，S=2ab=2
3
；
所以四边形PQRS面积的取值范围[3，2
3
]．（14分）
点评：本题考查椭圆的方程求法，试探讨四边形PQRS与圆C1的位置关系，考查四边形PQRS面积的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用，属于难题．
练习册系列答案
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2
a）≤f（x），则a的范围是
 
．
设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线x+2y-6=0垂直，则a=（　　）
A、1
B、-
1
4
C、-
1
2
D、-1
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分组频数频率
[60，70]  
[70，80]  
[80，90]  
[90.100]  
合计501
椭圆
x2
36
+
y2
100
=1上一个动点与其两个焦点所构成的三角形的周长是
 
．
直角三角形绕直角边旋转一周，得到的几何体是（　　）
A、圆锥B、圆台C、圆柱D、球
函数f（x）=sinx+tanx，x∈[-
π
4
，
π
4
]的值域是
 
．
若函数f（x）=x2+mx-2在区间（-∞，1）上是单调减函数，则m范围
 
．
点M、N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（　　）
A、①、②、③
B、②、③、④
C、①、③、④
D、②、④、③

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