Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  2]
• B、[1，2]
• C、(0，

  1

  2

  )
• D、（0，2]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由偶函数的性质将f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1）化为：f（log₂a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．

解答： 解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（log

1

2

a）=f（-log₂a）=f（log₂a），
则f（log₂a）+f（log

1

2

a）≤2f（1）为：f（log₂a）≤f（1），
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log₂a|≤1，解得

1

2

≤a≤2，
则a的取值范围是[

1

2

，2]，
故选：A．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．