Question

14．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2ⁿ+r（r为常数）的图象上，记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若数列{c_n}满足c_n=$\frac{{{b}_{n}}^{2}+1}{{{b}_{n}}^{2}-1}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过将点（n，S_n）代入函数y=2ⁿ+r（r为常数）方程，利用a_n=S_n-S_n-1可知数列{a_n}的通项公式，进而可知列{b_n}的通项公式；
（2）通过（1）裂项可知c_n=1+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n≥2），进而并项相加，分类讨论即得结论．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）均在函数y=2ⁿ+r（r为常数）的图象上，
∴S_n=2ⁿ+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2+r，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
∵b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N^*），
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（lo{g}_{2}（2+r）+1），}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知c_n=$\frac{{{b}_{n}}^{2}+1}{{{b}_{n}}^{2}-1}$=1+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n≥2），
当n≥2时，T_n-T₁=c₂+c₃+…+c_n
=（n-1）+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=n-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}，}&{n=1}\\{{c}_{1}+n-\frac{1}{2n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
其中c₁=$\frac{{{b}_{1}}^{2}+1}{{{b}_{1}}^{2}-1}$=$\frac{4[lo{g}_{2}（2+r）]^{2}+8lo{g}_{2}（2+r）+5}{4[lo{g}_{2}（2+r）^{2}]^{2}+8lo{g}_{2}（2+r）+3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．