Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为x=-1，准线上位于x轴下方的一点为M，过点M及焦点F的直线l与C的一个交点为N，且F为线段MN的中点．
（1）求抛物线C及直线l的方程；
（2）若直线l与抛物线C的另一个交点为P（异于N），求线段PN的长．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出抛物线的方程，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，求出P，N的坐标，即可求线段PN的长．

解答 解：（1）∵抛物线C的准线为x=-1，∴$-\frac{p}{2}=-1$，∴p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x…（2分）
∴抛物线C的焦点为F（1，0）…（3分）
设点N的横坐标为x_N，∵F为线段MN的中点，∴$\frac{{-1+{x_N}}}{2}=1$，∴x_N=3，
易知点N的纵坐标${y_N}=2\sqrt{3}$，∴l的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}-0}}{3-1}=\sqrt{3}$…5分）
∴直线l的方程为$y-0=\sqrt{3}（{x-1}）$，即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$…（6分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\{y^2}=4x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$…（8分）
即$P（{\frac{1}{3}，\;-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）\;\;，\;N（{3，\;2\sqrt{3}}）$…（10分）
∴$|PN|=\sqrt{{{（{\frac{1}{3}-3}）}^2}+{{（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}-2\sqrt{3}}）}^2}}=\frac{16}{3}$…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．