Question

5．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=-x²+2x，记函数g（x）=f（x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 根据题中的条件得到函数的解析式为：当x∈（1，2]时，f（x）=-x²+2x，进一步分别得到函数在（2，4]，（4，8]的解析式，在坐标系在画出f（x）的图象，又y=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可．

解答 解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，
且当x∈（1，2]时，f（x）=-x²+2x，
f（x）=2[-（$\frac{x}{2}$^）2+x]=$-\frac{{x}^{2}}{2}+2x$，x∈（2，4]，
f（x）=4[-（$\frac{x}{4}$）²+$\frac{x}{2}$]=$-\frac{{x}^{2}}{4}+2x$，x∈（4，8]，
…
由题意得y=k（x-1）的函数图象
是过定点P（1，0）的直线，
其中A（2，2），
B（4，4），
如图所示直线与线段AB相交即可
（可以与B点重合但不能与A点重合），
k_PA=2，k_PB=$\frac{4}{3}$，
所以可得k的范围为
$\frac{4}{3}$≤x＜2．
故选B．

点评 解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．