Question

2．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足$tanθ=\frac{3}{4}$．
（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

Answer 1

分析 （1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+b$，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；
（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大

解答 解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），
半径r=9．设太阳光线所在直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+b$，
即3x+4y-4b=0，…（2分）
则由$\frac{|27+24-4b|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=9$，
解得b=24或$b=\frac{3}{2}$（舍）．
故太阳光线所在直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+24$，…（5分）
令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．
所以此时能保证上述采光要求…（7分）
（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．
欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），
设过点G的上述太阳光线为l₁，则l₁所在直线方程为y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$（x-30），
即3x+4y-100=0…（10分）
由直线l₁与半圆H相切，得$r=\frac{|3r+4h-100|}{5}$．
而点H（r，h）在直线l₁的下方，则3r+4h-100＜0，
即$r=-\frac{3r+4h-100}{5}$，从而h=25-2r…（13分）
又$S=2rh+\frac{1}{2}π{r^2}=2r（25-2r）+\frac{3}{2}×{r^2}$=$-\frac{5}{2}{r^2}+50r=-\frac{5}{2}{（r-10）^2}+250≤250$．
当且仅当r=10时取等号．
所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．