题目内容
过双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线渐线的垂线l，若直线l与双曲线的左右两支相交于AB两点，求双曲线的离心率e的取值范围 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出双曲线的右焦点和渐近线方程，由两直线垂直的条件，求得直线l的方程，代入双曲线方程，运用两根之积小于0，得到b＞a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．
解答：
解：双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），
渐近线方程为y=
x，
则垂线l：y=-
（x-c），
代入双曲线方程，可得，
x2+
x-
=0，
由于直线l与双曲线的左右两支相交于A、B两点，
则上式方程的两根小于0，
即有b＞a，
又b2=c2-a2，
所以c2＞2a2
则离心率e=
＞
．
故答案为：（
，+∞）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
渐近线方程为y=
| b |
| a |
则垂线l：y=-
| a |
| b |
代入双曲线方程，可得，
| b4-a4 |
| b2 |
| 2a4c |
| b2 |
| a4c2+a2b4 |
| b2 |
由于直线l与双曲线的左右两支相交于A、B两点，
则上式方程的两根小于0，
即有b＞a，
又b2=c2-a2，
所以c2＞2a2
则离心率e=
| c |
| a |
| 2 |
故答案为：（
| 2 |
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．
练习册系列答案
相关题目
