Question

20．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（-log₂24）=$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x-4），从而可以得到f（-log₂24）=-f（log₂24-4）=-f（log₂3-1），可判断log₂3-1∈（0，1），从而可以求出$f（lo{g}_{2}3-1）=（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}3-1}$，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．

解答 解：f（x）的图象关于x=1对称；
∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=f（x-4）；
即f（x）=f（x-4）；
∴f（-log₂24）=-f（log₂24）=-f（log₂24-4）=-f（log₂3-1）；
∵log₂3-1∈（0，1）；
∴$-f（lo{g}_{2}3-1）=-（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}3-1}$=$-{2}^{lo{g}_{2}\frac{1}{3}+1}$=$-\frac{2}{3}$；
∴$f（-lo{g}_{2}24）=-\frac{2}{3}$．
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a-x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．