Question

已知目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件

2x-3y+3≥0 3x-2y≤3 x≥0 y≥0

下的最大值为3，则代数式

1

1-a

+

4

1-b

的最小值为（　　）

• A、10
• B、9
• C、8
• D、7

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：由约束条件作出可行域，由图得到使目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的点，解出点的坐标，代入目标函数得到a+b=1，进一步代入

1

1-a

+

4

1-b

后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由约束条件

2x-3y+3≥0 3x-2y≤3 x≥0 y≥0

作可行域如图，
由图可知，当目标函数z=ax+by过可行域内的点C时，z有最大值．
联立

2x-3y+3=0 3x-2y=3

，解得：

x=3 y=3

．
∴C（3，3）．
则3a+3b=3，即a+b=1（a＞0，b＞0）．
∴

1

1-a

+

4

1-b

=

1

b

+

4

a

=(

1

b

+

4

a

)(a+b)=5+

a

b

+

4b

a

≥5+2

a b • 4b a

=9．
当且仅当

a+b=1 a=2b

，即a=

2

3

，b=

1

3

时上式等号成立．
故选：B．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．