Question

设f(x)＝－x³＋x²＋2ax.

(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．

(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．

Answer 1

(1)由f ′(x)＝－x²＋x＋2a

＝－(x－)²＋＋2a

当x∈[，＋∞)时，f ′(x)的最大值为f ′()＝＋2a；令＋2a>0，得a>－

所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．即f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(－，＋∞)．

(2)令f ′(x)＝0，得两根

所以f(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上单调递减，

在(x₁，x₂)上单调递增．

当0<a<2时，有x₁<1<x₂<4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x₂)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)<f(1)

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x₂＝2，

从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.