Question

18．若${（{4x-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^n}$的展开式中各项的系数之和为729，则该展开式中x²的系数为-1280．

Answer 1

分析 令x=1，则3ⁿ=729，解得n=6，再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：令x=1，则3ⁿ=729，解得n=6，
∴展开式的通项公式：T_r+1=（-1）^r ${C}_{6}^{r}$（4x）^6-r$（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=（-1）^r${C}_{6}^{r}$4^6-r${C}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{4r}{3}}$，
6-$\frac{4r}{3}$=2，解得r=3．
∴该二项式的展开式中x²项的系数为-1280．
故答案为-1280．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．