Question

16．在三棱锥C-ABO中，OA、OB、OC所在直线两两垂直，且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，D是AB中点，三棱锥C-ABO的体积是$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（1）求三棱锥C-ABO的高；
（2）在线段CA上取一点E，当E在什么位置时，异面直线BE与OD所成的角为arccos$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）根据OA、OB、OC所在直线两两垂直，可得平面AOC，平面OCB，平面AB0是两两垂直．且OA=OB，CA与平面AOB所成角为60°，求解OC就是三棱锥C-ABO的高．
（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出C，D的坐标，设出E的坐标，BE与OD所成的角为θ，利用异面直线BE与OD所成的角为arccos$\frac{1}{4}$，求出E的坐标即可

解答 解：（1）OA、OB、OC所在直线两两垂直，即OC⊥OA，OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB
∴∠CAO就是CA与平面AOB所成角，
∴∠CAO=60°
设OA=OB=a，则$OC=\sqrt{3}a$
∴${V_{C-ABO}}=\frac{1}{3}{S_{ABO}}•CO=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∴a=1，
所以三棱锥C-ABO的高$OC=\sqrt{3}$．
（2）由题意，OA⊥OB，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则$C（0，0，\sqrt{3}），D（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
设$E（1-λ，0，\sqrt{3}λ）（λ∈[0，1]）$，
则$\overrightarrow{BE}=（1-λ，-1，\sqrt{3}λ），\overrightarrow{OD}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
设BE与OD所成的角为θ，则$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OD}|}}{{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{OD}|}}=\frac{1}{4}$．
∴$λ=\frac{1}{2}$或λ=-1（舍去）
所以当E是线段CA中点时，异面直线BE与OD所成的角为$arccos\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．