Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD与BDEF是边长均为a的菱形，FA=FC
（1）求证：AC⊥平面BDEF
（2）求证：FC∥平面EAD
（3）当FB与底面ABCD成45°角时，求该几何体的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由AC⊥BD，AC⊥FO，且FO∩BD=O，证明AC⊥平面BDEF；
（2）由AD∥BC，DE∥BF，证明平面FBC∥平面EAD，再证明FC∥平面EAD；
（3）求出菱形BDEF的面积S_菱形BDEF，再根据该几何体是两个直三棱锥的组合体，求出它的体积．

解答： 解：（1）证明：设AC与BD相交于点O，
连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点；
又FA=FC，所以AC⊥FO；
因为FO∩BD=O，
所以AC⊥平面BDEF；
（2）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以平面FBC∥平面EAD；
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD；
（3）因为四边形ABCD与BDEF是边长均为a的菱形，
且FB与底面ABCD成45°角，
∴菱形BDEF的面积是S_菱形BDEF=a²sin45°=

2

2

a²；
正△ABD中，OA=

3

2

a，
∴该几何体的体积为
V=

1

3

S_菱形BDEF•2OA=

1

3

•

2

2

a²•2•

3

2

a=

6

6

a³．

点评：本题考查了空间中的垂直与平行的应用问题，也考查了求空间组合体的体积的应用问题，是综合性题目．