Question

如图（1），四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，F分别为AB、CD的中点，且AB=4，CD=2，EF=1，现将四边形BCEF沿EF折起到四边形B₁C₁FE的位置，如图（2），使平面B₁C₁FE⊥平面AEFD．
（1）求证：C₁F∥平面AEB₁；
（2）求证：AD⊥平面B₁ED；
（3）线段B₁D上是否存在一点G，使EG⊥平面AB₁D，若存在求

B1G

GD

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由C₁F∥B₁E，证明C₁F∥平面AEB₁；
（2）由AD⊥DE，B₁E⊥AD，且B₁E∩DE=E，证明AD⊥平面B₁ED；
（3）假设线段B₁D上存在一点G，使EG⊥平面AB₁D，得出EG⊥B₁D即可，画出Rt△B₁ED，EG⊥B₁D，求出B₁G与GD的值即可．

解答： 解：（1）证明：∵C₁F∥B₁E，
C₁F?平面AEB₁，
B₁E?平面AEB₁，
∴C₁F∥平面AEB₁；
（2）∵AE=

1

2

AB=2，DE=

EF2+FD2

=

12+( 2 2 )2

=

2

，AD=

12+12

=2；
∴AB²=DE²+AD²，
∴AD⊥DE；
∵B₁E⊥EF，平面B₁C₁FE⊥平面AEFD，
B₁E?平面B₁C₁FE，平面B₁C₁FE∩平面AEFD=EF，
∴B₁E⊥平面AEFD，
AD?平面AEFD，
∴B₁E⊥AD；
又B₁E∩DE=E，
B₁E?平面B₁ED，ED?平面B₁ED，
∴AD⊥平面B₁ED；
（3）设线段B₁D上存在一点G，使EG⊥平面AB₁D，
∵AD⊥平面B₁ED，
EG?平面B₁ED，
∴AD⊥EG；
只需过E点作EG⊥B₁D，垂足为G，
∴EG⊥平面AB₁D；
在Rt△B₁ED中，EG⊥B₁D，如图所示；
∴B₁D=

B1E2+ED2

=

6

，
∴EG=

B1E•ED

BD

=

2× 2

6

=

2

3

，
∴B₁G=

B1E2-ED2

=

8 3

，
GD=

ED2-EG2

=

2 3

；
∴

B1G

GD

=2；
即线段B₁D上存在一点G，使EG⊥平面AB₁D，且

B1G

GD

=2．

点评：本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是综合性题目．