Question

13．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且$2sinCcosA+\sqrt{3}sinA=2sinB，AD$为角A的内角平分线，$AD=\sqrt{6}$．
（1）求三角形内角C的大小；
（2）求△ABC面积的S．

Answer 1

分析 （1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；
（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．

解答 解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=$\frac{π}{3}$，
∵$2sinCcosA+\sqrt{3}sinA=2sinB$=2sin（A+C），
∴2sinCcosA+$\sqrt{3}$sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴$\sqrt{3}$sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{6}$．
（2）．由（1）值A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{AB}{sin7{5}^{0}}=\frac{\sqrt{6}}{sin6{0}^{0}}$，得AB=$\sqrt{3}+1$，
同理得AC=$\sqrt{3}+3$，
∴△ABC面积的S=$\frac{1}{2}×AB×AC=3+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、三角恒等变形，属于中档题．