Question

8．若函数y=log₂（-x²+8x-7）在区间（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围是[1，3]．

Answer 1

分析 由对数式的真数大于0求出函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，结合复合函数的单调性可得原函数的增区间，由函数y=log₂（-x²+8x-7）在区间（m，m+1）上是增函数，可得（m，m+1）是原函数增区间的子集，然后结合两集合端点值间的关系列式求得m的范围．

解答 解：由-x²+8x-7＞0，得1＜x＜7．
函数t=-x²+8x-7的对称轴方程为x=4，
∴函数t=-x²+8x-7在（1，4]上为增函数，
而外函数y=log₂t是其定义域内的增函数，
则函数y=log₂（-x²+8x-7）的增区间为（1，4]．
要使函数y=log₂（-x²+8x-7）在区间（m，m+1）上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+1≤4}\end{array}\right.$，解得1≤m≤3．
∴实数m的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．