Question

15．已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且与直线l₁：$x-\sqrt{2}y+6=0$相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OM}$，设动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l₂：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F₁（-1，0），F₂（1，0）两点分别作F₁P⊥l₂，F₂Q⊥l₂，垂足分别为P，Q，且记d₁为点F₁到直线l₂的距离，d₂为点F₂到直线l₂的距离，d₃为点P到点Q的距离，试探索（d₁+d₂）•d₃是否存在最值？若存在，请求出最值．

Answer 1

分析 （1）设圆C₁：x²+y²=R²，根据圆C₁与直线l₁相切，求出圆的方程为x²+y²=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程．
（2）将直线l₂：y=kx+m代入曲线C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d₁+d₂）•d₃存在最大值，并能求出最大值．

解答 解：（1）设圆C₁：x²+y²=R²，根据圆C₁与直线l₁相切，
得$\frac{6}{\sqrt{1+2}}$R，即R=2$\sqrt{3}$，
∴圆的方程为x²+y²=12，
设A（x₀，y₀），N（x，y），∵AM⊥x轴于M，∴M（x₀，0），
∴（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₀，y₀）+（$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$）（x₀-0）=（$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{1}{2}{y}_{0}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\\{y=\frac{1}{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{3}x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
∵点A（x₀，y₀）为圆C₁上的动点，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=12，∴（$\sqrt{3}x$）²+（2y）²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由（1）中知曲线C是椭圆，
将直线l₂：y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
由直线l₂与椭圆C有且仅有一个公共点知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
整理得m²=4k²+3…（7分），且${d_1}=\frac{|m-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，${d_2}=\frac{|m+k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
1°当k≠0时，设直线l₂的倾斜角为θ，则d₃•|tanθ|=|d₁-d₂|，即${d_3}=|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|$
∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}=（{d_1}+{d_2}）|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|=|\frac{{{d_1}^2-{d_2}^2}}{k}|=\frac{4|m|}{{1+{k^2}}}$=$\frac{4|m|}{{\frac{{{m^2}-3}}{4}+1}}=\frac{16}{{|m|+\frac{1}{|m|}}}$…（10分）
∵m²=4k²+3∴当k≠0时，$|m|＞\sqrt{3}$
∴$|m|+\frac{1}{|m|}＞\sqrt{3}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}＜4\sqrt{3}$…（11分）
2°当k=0时，四边形F₁F₂PQ为矩形，此时${d_1}={d_2}=\sqrt{3}$，d₃=2
∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$…（12分）
综上1°、2°可知，（d₁+d₂）•d₃存在最大值，最大值为$4\sqrt{3}$…（13分）

点评 本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大．