Question

8．已知椭圆的中心在原点O，对称轴为坐标轴，过焦点F且与长轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若OA⊥OB，试求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（c，0）．把x=c代入椭圆方程可得A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，B$（c，-\frac{{b}^{2}}{a}）$．由于OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，化简解出即可．

解答 解：不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（c，0）．
把x=c代入椭圆方程可得：${y}^{2}={b}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，解得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$．
取A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，B$（c，-\frac{{b}^{2}}{a}）$．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=${c}^{2}-\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=0，
化为ac-（a²-c²）=0，
∴e²+e-1=0，0＜e＜1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．