Question

16．已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
（1）求f（0）及f（3）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可求得f（0）=0，利用f（xy）=f（x）•f（y），f（27）=9，可求得f（3）；
（2）令y=-1，可求得f（-x）=f（x），从而可判断f（x）的奇偶性；
（3）易证当x＞0时，f（x）＞0，设0≤x₁＜x₂，可证得0≤f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$＜1，从而可证函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=0或f（0）=1，
又当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1，
∴f（0）=0；
∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，
∴f（3）=$\root{3}{9}$；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），且x∈R，
∴f（x）为偶函数．
（3）若x≥0，则f（x）=f（$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$）=f（$\sqrt{x}$）•f（$\sqrt{x}$）=[f（$\sqrt{x}$）]²≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
则f（27）=f（x₀•$\frac{27}{{x}_{0}}$）=f（x₀）•f（$\frac{27}{{x}_{0}}$）=0，与f（27）=9矛盾，
∴当x＞0时，f（x）＞0．
设0≤x₁＜x₂，则0≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）•f（x₂），
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$．
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查恒成立问题与推理证明能力，属于难题．