Question

已知数列的首项，且对任意都有（其中为常数）.
（1）若数列为等差数列，且，求的通项公式.
（2）若数列是等比数列，且，从数列中任意取出相邻的三项，均能按某种顺序排成等差数列，求的前项和成立的的取值的集合.

Answer 1

（1）或；（2）{2,4,6,8} .

试题分析：（1）对实数分类讨论，①，；②时，根据等差数列的定义，可知，公差，则；（2）若数列为等比数列，则，即，因此（注意是容易漏掉的）或， 在这情况下，可得，故不满足，因此只有满足条件，由任相邻的三项均能按某种顺序排成等差数列，可分为以下三种情况：①；②；③，分别求出看是否满足条件，由满足条件的结合确定的取值的个数.
（1）当 时，符合题意，
当时，由于数列是等差数列且，所以为常数，故，得，
所以，或．（6分）（只求得一个得3分）
（2）由数列为等比数列，所以得
或， （8分）
若得，故不满足
所以，得.
由任相邻的三项均能按某种顺序排成等差数列，即
若得（舍）.
若得（舍）或（舍），
若得舍或，
故得
 即所求值的集合为{2,4,6,8} （13分）