Question

17．三次函数$f（x）=a{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+1$的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则f（x）在区间（1，3）上的最小值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{6}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，再求f（x）在区间（1，3）上的最小值．

解答 解：f′（x）=3ax²-3x+2，
由图象在（1，f（1））处的切线平行于x轴，
可得f′（1）=3a-3+2=0，
解得a=$\frac{1}{3}$，
∴f′（x）=（x-1）（x-2），
函数在（1，2）上单调递减，（2，3）上单调递增，
∴x=2时，f（x）在区间（1，3）上的最小值是$\frac{5}{3}$．
故选D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，函数的单调性与最值，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．