Question

设{a_n}是由正数组成的数列，其前n项和为S_n，且满足关系：S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3），当n≥2时，Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)，两式相减并整理得：（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和公式可得S_n，再利用“裂项求和”即可得出T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3），
∴当n≥2时，Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)，
两式相减并整理得：（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}成等差数列  公差d=2，
又当n=1时，∴a₁=S₁=

1

4

(a1-1)(a1+3)，
解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（1）可得S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴Tn=

1

1•3

+

1

2•4

+

1

3•5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

•(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．