Question

19．设F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F₁F₂P为直角三角形，该三角形的面积为$\frac{48}{5}$．

Answer 1

分析 根据P点为椭圆的上下顶点时，∠F₁F₂P取到最大值即可判断出∠F₁F₂P=90°，求得P点的纵坐标，从而求出△PF₁F₂的面积．

解答 解：当P点为椭圆的上顶点时，△F₁F₂P为直角三角形，
∠F₁F₂P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F₁F₂P=90°；
∴∠F₁PF₂不可能是直角；
∴只能是PF₂⊥x轴；椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦点（3，0），2c=6，|F₂P|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{16}{5}$．
三角形的面积为：$\frac{1}{2}×6×\frac{16}{5}$=$\frac{48}{5}$/
故答案为：$\frac{48}{5}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及顶点，以及∠F₁F₂P取到最大值是解题的关键．