Question

已知定义在（0，

π

2

）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，

π

2

），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（

π

6

）sinx的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数g（x）=

f(x)

sinx

，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．

解答： 解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，
则f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
构造函数g（x）=

f(x)

sinx

，
则g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

，
当x∈（0，

π

2

）时，g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＜0，
即函数g（x）在（0，

π

2

）上单调递减，
则不等式式f（x）＜2f（

π

6

）sinx等价为式

f(x)

sinx

＜

f( π 6 )

1 2

=

f( π 6 )

sin π 6

，
即g（x）＜g（

π

6

），
则

π

6

＜x＜

π

2

，
故不等式的解集为（

π

6

，

π

2

），
故答案为：（

π

6

，

π

2

）

点评：本题主要考查不等式的 求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．