Question

15．四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=3，BC=4，CD=5．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；
（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．

Answer 1

分析 （1）证明CD⊥平面ABC，即可证明：平面ABC⊥平面ACD；
（2）利用体积、面积公式求出此四面体ABCD的体积和表面积；
（3）此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，即可求此四面体ABCD的外接球半径．利用等体积求出内切球半径．

解答 （1）证明：∵AB⊥面BCD，CD?面BCD，
∴AB⊥CD，
∵∠BCD=$\frac{π}{2}$，
∴CD⊥BC，
∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD；
（2）解：此四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×5×3$=10
表面积S=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×\sqrt{16+25}+\frac{1}{2}×4×5+\frac{1}{2}×5×5$=$\frac{57}{2}+\frac{3\sqrt{41}}{2}$；
（3）解：此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，半径为$\frac{1}{2}$$\sqrt{9+16+25}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
设内切球半径为r，则$\frac{1}{3}•$（$\frac{57}{2}+\frac{3\sqrt{41}}{2}$）r=10，
∴r=$\frac{19-\sqrt{41}}{16}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查几何体的体积、表面积的计算，考查四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．属于中档题．