Question

3．已知抛物线x²=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点
（Ⅰ）当|PF|=2时，求点P的坐标；
（Ⅱ）求点P到直线y=x-10的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求得点P的坐标；
（Ⅱ）首先求得点P到直线y=x-10的距离d的关于a的关系式，由二次函数的性质即可解得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线x²=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，
故设P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），（a＞0），
∵|PF|=2，结合抛物线的定义得，$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=2，
∴a=2，
∴点P的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）设点P的坐标为P（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），（a＞0），
则点P到直线y=x-10的距离d为$\frac{|a-\frac{{a}^{2}}{4}-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{{a}^{2}}{4}-a+10|}{\sqrt{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+10=$\frac{1}{4}$（a-2）²+9，
∴当a=2时，$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+10取得最小值9，
故点P到直线y=x-10的距离的最小值=$\frac{9}{\sqrt{2}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，属于中档题．