Question

12．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x}-1$．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设m＞0，若函数g（x）=2xf（x）-x²+2x+m在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性分别求出g（x）的极大值和极小值，得到关于m的不等式组，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
由$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}=0$，得x=e．
当0＜x＜e时，$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＞0$；
当x＞e时，$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＜0$．
所以函数f（x）在（0，e]上单调递增，
在[e，+∞）上单调递减…（5分）
（Ⅱ）g（x）=2ln x-x²+m，
则g′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$．
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴当g′（x）=0时，x=1；
当$\frac{1}{e}$＜x＜1时，g′（x）＞0；
当1＜x＜e时，g′（x）＜0．
故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1．
又g（$\frac{1}{e}$）=m-2-$\frac{1}{e2}$，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（$\frac{1}{e}$）=4-e²+$\frac{1}{e2}$＜0，则g（e）＜g（$\frac{1}{e}$），
∴g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是g（e）．…（8分）
g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点的条件是：
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=m-1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=m-2-\frac{1}{{e}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴实数m的取值范围是（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点，考查转化思想，是一道中档题．