Question

10．如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中AC=2AA₁，AC⊥BC，D、E 分别为A₁C₁、AB 的中点．求证：
（1）AD⊥平面BCD
（2）A₁E∥平面BCD．

Answer 1

分析 （1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明 即可AD⊥平面BCD
（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A₁DOE为平行四边形，即A₁E∥OD，A₁E∥平面BCD．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
而AD?平面AA₁C₁C∴BC⊥AD…①
又该直三棱柱中AA₁⊥A₁C₁，CC₁⊥A₁C₁，
由已知AA₁=$\frac{1}{2}$ AC=A₁D，则∠A₁DA=$\frac{π}{4}$，
同理∠C₁DC=$\frac{π}{4}$，则∠ADC=$\frac{π}{2}$，即CD⊥AD，
由①BC⊥AD，BC∩CD=C，BC，CD?平面BCD，
∴AD⊥平面BCD；
（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE=EB，CO=BO∴OE平行等于$\frac{1}{2}$ AC，
而A₁D平行等于$\frac{1}{2}$AC，
∴A₁D平行等于OE∴四边形A₁DOE为平行四边形，
∴A₁E∥OD，而A₁E?平面BCD，OD?平面BCD，
∴A₁E∥平面BCD．

点评 本题考查了空间线面垂直、线面平行的判定，属于中档题