Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=a_n（n≥2，n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=（-1）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 由已知条件条件数列{a_n}为1，-1，1，1-1，…，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$=a_n，则S_n≠0，
∴S_n²+1=a_nS_n，
∴S_n-1²+1=a_n-1S_n-1，
∴S_n²-S_n-1²=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_n（S_n+S_n-1）=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_nS_n+a_nS_n-1=a_nS_n-a_n-1S_n-1，
∴a_nS_n-1=-a_n-1S_n-1，
∴a_n=-a_n-1，
∴a₂=-a₁=-1，
∴数列{a_n}为1，-1，1，1，-1，…
∴a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
故答案为：（-1）ⁿ⁺¹

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．