Question

5．已知等差数列{a_n}，满足a₃=7，a₅+a₇=26．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差中项及a₅+a₇=26可知a₆=13、$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{3}=2$，通过a_n=a₃+（n-3）d计算即得结论；
（Ⅱ）通过（1）裂项可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{4n+4n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵a₅+a₇=26
∴a₆=13，$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{3}=2$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知${b_n}=\frac{1}{a_n^2-1}=\frac{1}{4n+4n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，裂项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．