题目内容
已知函数
是R上的奇函数，当
时
取得极值
.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意
不等式
恒成立.
(Ⅰ)单增区间
，单减区间
，极大值
；(Ⅱ)见解析.
解析试题分析：(Ⅰ)根据奇函数的定义可知
，由此解得
，由已知条件“当时取得极值”可得
以及
，联立方程组解得
，写出函数的解析式为
，然后对函数
求导，利用函数的单调性与导数的关系判断函数在实数集R上的单调性，并由此得到函数在
处取得极大值；(Ⅱ)根据函数在区间
是单调递减的，可知函数在区间上的极大值
和极小值
，从而由对任意的
都有不等式
成立，即得结论.
试题解析：(Ⅰ)由奇函数的定义，有，
即
，∴.
因此
，
，
由条件为的极值，必有.
故
，解得. 4分
因此， ，
，
.
当
时，
，故在单调区间
上是增函数；
当
时，
，故在单调区间上是减函数；
当
时，，故在单调区间
上是增函数.
∴函数在处取得极大值，极大值为. 8分
(Ⅱ)由(I)知，
是减函数，
且在
上的最大值
在上的最小值
∴对任意
恒有
12分
考点：1.求函数的解析式；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究函数的极值；4.解不等式；5.奇函数的性质
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的一个极值点，
时，证明：
是函数
的一个极值点.
与
的关系式（用
的单调递增区间；
,若存在
使得
成立，求实数
，
. 
时，求
在
处的切线方程；
在
内单调递增，求
的取值范围.
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．
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的单调区间；
时，不等式
恒成立，求实数
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（
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，其中
，
．
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，试判断函数
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的取值范围．