Question

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l₁，在路南侧沿直线铺设线路l₂，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

Answer 1

（1）=80+ 60tanα;（2）,.

解析试题分析：（1）过E作，垂足为M，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.
试题解析：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有，，，      3分
所以
=80+ 60tanα（其中      8分
（2）W
．
设，
则．        11分
令得，即，得．
列表

	+	0
	单调递增	极大值	单调递减

所以当时有，此时有．         14分
答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角．         16分
考点：函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.