Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；

（2）由，得。因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数。

试题解析：

（1）∵，

∴，

因为，所以，

当x变化时， 的变化情况如下表：

				1
		0		0
	递增	极大值	递减	极小值	递增

由表可得当时， 有极大值，且极大值为，

当时， 有极小值，且极小值为.

（2）由（1）得。

∵，∴.

① 当时， 在上单调递增，在上递减

又因为

所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，

所以上有两个零点。

② 当，即时， 在上单调递增，在上递减，在上递增，

又因为

所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，

所以在上有且只有只有一个零点.

综上：

当时， 在上有两个零点；

当时， 在上有且只有一个零点。