Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．

由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），

所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即：

1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12

解得：a=1，b=﹣3．

（2）解：由a=1，b=﹣3得：f′（x）=3x2﹣6ax+3b=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）

令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；

又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．

故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数，

当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，

但当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数．

【解析】（1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和导数的几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即．