题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x+a+2b-1是R上的奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f′（2）+f′（-2）的值；
（3）求函数f（x）的单调区间．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f′（2）+f′（-2）的值；
（3）求函数f（x）的单调区间．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）首先，根据f（-x）=-f（x），得到2bx2+2（a+2b-1）=0，然后，求解即可；
（2）首先，求解导数，然后，求解其值；
（3）直接结合导数求解其单调区间即可．
（2）首先，求解导数，然后，求解其值；
（3）直接结合导数求解其单调区间即可．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2-3x+a+2b-1是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴2bx2+2（a+2b-1）=0，
∴
，
∴
，
∴f（x）=x3-3x．
（2）根据（1）得
f′（x）=3x2-3，
∴f′（2）=9，f′（-2）=9，
∴f′（2）+f′（-2）=18，
（3）令f′（x）=3x2-3＞0，
∴x＜-1 或 x＞1，
∴单调增区间为：（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）=3x2-3＜0，
∴-1＜x＜1，
∴单调减区间为：（-1，1）．
∴f（-x）=-f（x），
∴2bx2+2（a+2b-1）=0，
∴
|
∴
|
∴f（x）=x3-3x．
（2）根据（1）得
f′（x）=3x2-3，
∴f′（2）=9，f′（-2）=9，
∴f′（2）+f′（-2）=18，
（3）令f′（x）=3x2-3＞0，
∴x＜-1 或 x＞1，
∴单调增区间为：（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）=3x2-3＜0，
∴-1＜x＜1，
∴单调减区间为：（-1，1）．
点评：本题重点考查了函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．
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| A、（0，1） |
| B、（1，3） |
| C、（-∞，0） |
| D、（3，+∞） |
函数y=x2-4x+10在区间[1，4）上（ ）
| A、最小值是6，最大值是10 |
| B、最小值是7，最大值是10 |
| C、最小值是6，没有最大值 |
| D、最小值是7，没有最大值 |