Question

16．椭圆$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$的离心率$e∈（\frac{1}{2}，1）$，则m的取值范围是$m＞\frac{4}{3}$或$0＜m＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 当m＞1时，a²=m．b²=1，c²=m-1，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{m-1}{m}∈（\frac{1}{4}，1）$，
当0＜m＜1时，a²=1．b²=m，c²=1-m，e²=$\frac{1-m}{1}$∈（$\frac{1}{4}，1$）．

解答 解：当m＞1时，a²=m．b²=1，c²=m-1，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{m-1}{m}∈（\frac{1}{4}，1）$，⇒m＞$\frac{4}{3}$；
当0＜m＜1时，a²=1．b²=m，c²=1-m，e²=$\frac{1-m}{1}$∈（$\frac{1}{4}，1$）⇒0＜m＜$\frac{3}{4}$．
故答案为：0＜m＜$\frac{3}{4}$或m＞$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的方程中a²=b²+c²的关系，及离心率的计算，属于基础题．