Question

下列四个函数：①f（x）=x²-2x；②f（x）=sinx，0≤x≤2π；③f（x）=2^x+x；④f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

．其中，能使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立的函数的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,导数的综合应用

分析：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，则函数f（x）的导函数为增函数，求导判断单调性即可．

解答： 解：若使f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]恒成立，
则函数f（x）的导函数为增函数，
即f′（x）在定义域上是增函数；
①∵f（x）=x²-2x，∴f′（x）=2x-2是增函数，故成立；
②∵f（x）=sinx，0≤x≤2π；∴f′（x）=cosx不是增函数，故不成立；
③∵f（x）=2^x+x，∴f′（x）=ln2•2^x+1是增函数，故成立；
④∵f（x）=log₂（2x-1），x＞

1

2

，∴f′（x）=

2

ln2•(2x-1)

在（

1

2

，+∞）上是减函数，
故不成立；
故选B．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，属于中档题．