Question

已知球O内有一个内接圆锥，球心在圆锥内部且圆锥的底面半径r与球的半径R的比为

3

：2，则圆锥与球的体积比为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：运用球的截面的性质，由勾股定理求得球心到底面的距离，可得圆锥的高，再由圆锥的体积公式和球的体积公式即可得到之比．

解答： 解：如图，OA=R，O₁A=r，
则r=

3

2

R，
由于OO₁垂直于底面，则OO₁⊥O₁A，
则OO₁²=OA²-O₁A²=R²-r²=

1

4

R²，
即有OO₁=

1

2

R，PO₁=R+

1

2

R=

3

2

R，
则圆锥的体积为

1

3

πr²•PO₁=

1

3

π×

3

4

R²×

3

2

R=

3

8

πR³，
球的体积为

4

3

πR³，
则圆锥与球的体积的比为9：32．
故答案为：9：32．

点评：本题考查球与内接圆锥的关系，考查圆锥与球的体积的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．