题目内容
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
开始计数的.
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 5 | 7 |
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：
表中的数据显示
与
之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若广告投入
万元时，实际销售收益为
万元，求残差
.
附：
，
【答案】(1)
.
(2)
.
(3)
.
【解析】分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为
，由频率直方图各小长方形的面积总和为
，可得
，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的 性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当
时，销售收益预测值，再求残差值.
详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可知
，
故.
（Ⅱ）由题意，可知
，
，
，
，
根据公式，可求得
，
，
所以
关于
的回归方程为
.
（Ⅲ）当时，销售收益预测值
（万元），又实际销售收益为
万元，所以残差
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