Question

【题目】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD平面BCD，∴AB⊥CD

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，

∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M ．

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，1，0）， = ．

设平面BCM的法向量 =（x，y，z），则 ，

令y=﹣1，则x=1，z=1．

∴ =（1，﹣1，1）．

设直线AD与平面MBC所成角为θ．

则sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos |= 即可得出．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．