Question

【题目】已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)圆是以为直径的圆，一直线与之相切，并与椭圆交于不同的两点、，当且满足时，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）由题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）由圆与直线相切，和，联立方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系及韦达定理，求得的取值范围，进而得到三角形面积的表达式，求解面积的取值范围.

详解：（Ⅰ）因为，所以是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以又因为，

解得，所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即

联立得.

设

因为直线与椭圆交于不同的两点、，

所以，

，

，又因为，所以

解得.

，

设，则单调递增，

所以，即