Question

【题目】已知焦点在y轴上的抛物线过点，椭圆的两个焦点分别为，，其中与的焦点重合，过点与的长轴垂直的直线交于A，B两点，且，曲线是以坐标原点O为圆心，以为半径的圆.

（1）求与的标准方程；

（2）若动直线l与相切，且与交于M，N两点，求的面积S的最小值.

Answer 1

【答案】（1）：；：；（2）

【解析】

（1）设的方程为，将点代入，可求出方程，及坐标，再由，可求出椭圆方程；由是以坐标原点O为圆心，以为半径的圆，求出半径的值，即可得到的标准方程；

（2）由动直线l与相切，可知圆心到直线的距离为1，从而可得的面积，根据直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论，并结合韦达定理及弦长公式，可求出的面积S的表达式，进而求出最小值即可.

（1）由题意，设的方程为，则，解得，即为，，

设椭圆的方程为，焦点为，将代入椭圆方程可得，

由，解得，故的方程为，

由，可知圆的圆心为，半径为1，故的方程为.

（2）由动直线l与相切，可知圆心到直线的距离为1，所以的面积.

若的斜率不存在，其方程为，将代入的方程，可得，则，此时；

若的斜率存在，设方程为，则，整理得，

联立，消去得，

则恒成立，

设，，则，，

则，

将代入，可得，

令，则，

所以，

令，，函数在上单调递减，即，

故.

因为，所以的面积S的最小值为.