Question

【题目】已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；

（3）证明：不等式：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）先表示出导数公式，结合导数的几何意义建立斜率的等量关系，再结合曲线过切点，即可求解；

（2）由（1）的结论可将所求问题转化为当且时，，构造函数，则，无法判断正负，考虑再次求导：，结合零点存在定理可判断单增，必定存在，使得，倒推出在单调递减，在单调递增，又结合端点值，，可得在单调递减，在单调递增，，进而得证；

（3）将所证不等式同除得，由（2）的结论进行放缩，可得，即证，再次构造函数，结合导数求出函数最值，即可求证；

（1），由曲线在处的切线方程为知：

解得，.

（2）由题意只需证：当且时，；

设，则，，易知在单调递增；且，，∴必定存在，使得，则在单调递减，在单调递增，其中，

，即在单调递减，在单调递增，，即当且时，

成立；

所以当且时，曲线的图象在切线的上方.

（3）要证：，只需证.

由（2）知时，.

故只需证，即证，

设，则，易知在单调递减，

在单调递增，；

即不等式：成立.