Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．

（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；

（Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）+=1，T（1，）； （Ⅱ）见解析.

【解析】

（I）由椭圆的离心率为得到 b2=a2，根据直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0，解得a2=4，b2=3，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先计算出|PT|2=t2，|PA|==|﹣x1|，|PB|=|﹣x2|，再计算=为定值．

（I）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，

则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①

由△=0，解得：a2=4，b2=3，

所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），

（Ⅱ）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），

所以|PT|2=t2，

设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，

则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，

y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，

同理|PB|=|﹣x2|，

|PA||PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，

|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，

所以=为定值．