Question

【题目】已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且曲线y=f（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线y=g（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1∥l2．

（1）求l1，l2之间的距离；

（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；

（3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差．求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l1，l2之间的距离；

（2）利用分离参数法，求出h（x）=x-ex的最大值即可；

（3）根据偏差的定义，只需要证明的最小值都大于2．

（1）f′（x）=aex，g′（x）=，

y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），

y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），

由题意得f′（0）=g′（a），即a=，

又∵a＞0，∴a=1．

∴f（x）=ex，g（x）=lnx，

∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：

x-y+1=0，x-y-1=0，

∴两平行切线间的距离为.

（2）由＞，得＞，

故m＜x-ex在x∈[0，+∞）有解，

令h（x）=x-ex，则m＜h（x）max，

当x=0时，m＜0；

当x＞0时，∵h′（x）=1-（+）ex，

∵x＞0，

∴+≥2=，ex＞1，

∴（+）ex＞，

故h′（x）＜0，

即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，

故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，

即实数m的取值范围为（-∞，0）．

（3）解法一：

∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），

∴F′（x）=ex-，设x=t为F′（x）=0的解，

则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0，

∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，

∴F（x）min=et-lnt=et-ln=et+t，

∵F′（1）=e-1＞0，F′（）=-2＜0，∴＜t＜1，

故F（x）min=et+t=+＞+=2，

即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

解法二：

由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），

令F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），

∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1-=，

∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，

∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，

∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2，

即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.