Question

.已知抛物线y²=4x（x＞0），是否存在正数m，对于过点（m，0）且与抛物线有两个交点A，B的任一直线都有

FA

•

FB

＜0？若存在求出m的取值范围，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现

FA

•

FB

＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．

解答： 解：设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，①
又

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），
∵

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

1

4

y²，于是不等式②等价于

1

4

y₁²•

1

4

y₂²+y₁y₂-（

1

4

y₁²+

1

4

y₂²）+1＜0
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜4t²④
对任意实数t，4t²的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m²-6m+1＜0，
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有有

FA

•

FB

＜0，且m 的取值范围是（3-2

2

，3+2

2

）

点评：本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的位置关系和向量数量积运算等知识，同时考查了逻辑思维能力、计算能力和转化化归的数学思想等知识，属于中档题．