Question

某沿海地区在保护环境与发展经济方面制定了一个长期规划蓝图，其中有一个退耕还林与盐碱地改造工程．已知需要退耕还林的总面积为640km²，每年退耕还林的面积相等；盐碱地改造工程计划用10年时间完成，第一年内改造面积20km²，前4年每年以100%的增长率改造，然后从第5年开始，每年度比上一年减少20km²．
（1）若是10年后该地区未退耕还林的面积与改造过的盐碱地的面积之和正好比目前需要退耕还林的面积翻一番，则每年退耕还林的面积是多少？
（2）设第n年（1≤n≤10且n∈N）盐碱地改造的总面积为S_n，求S_n的值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意可得：退耕还林的面积10a，计算盐碱地改造面积运用等比数列，等差数列求和公式求解，
（2）分类讨论：当1≤n≤4时，运用等比数列求和公式得；S_n=

20×(1-2n)

1-2

=20（2ⁿ-1），
当5≤n≤10时，S_n=300+140×（n-4）-

1

2

×（n-4）×（n-5）×20=-10n²+230n-460，注意项的个数为n-4，公差为-20．

解答： 解：（1）设每年退耕还林的面积为akm²，
根据题意可得：退耕还林的面积10a，
盐碱地改造面积为：20+40+80+160=300，
140×6-

6×5

2

×20=540，
∴盐碱地改造总面积为840
∵若是10年后该地区未退耕还林的面积与改造过的盐碱地的面积之和正好比目前需要退耕还林的面积翻一番，
∴10a+840=1280，
a=44，
故每年退耕还林的面积是44km²，
（2）盐碱地改造的总面积S_n，
当1≤n≤4时，S_n=

20×(1-2n)

1-2

=20（2ⁿ-1），
当5≤n≤10时，S_n=300+140×（n-4）-

1

2

×（n-4）×（n-5）×20=-10n²+230n-460
所以盐碱地改造的总面积S_n=

20(2n-1)，1≤n≤4 -10n2+230n-460，5≤n≤10

点评：本题考查了数列在实际问题中的应用，注意分类讨论，求解数列的和．属于难题．