Question

13．已知P，Q为动直线y=m（0＜m＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）与y=sinx和y=cosx在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x₀，则（　　）

• A． ${x_0}＜\frac{π}{8}$
• B． ${x_0}=\frac{π}{8}$
• C． $\frac{π}{8}＜{x_0}＜\frac{π}{6}$
• D． ${x_0}＞\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由题意知，P与Q关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）=（$\frac{π}{2}$-2x）•sinx，（0＜x＜$\frac{π}{4}$），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值．

解答 解：由题意知，P与Q关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，设P（x，sinx），则$Q（\frac{π}{2}-x，sinx）$，∴$S（x）=（\frac{π}{2}-2x）sinx（0＜x＜\frac{π}{4}）$，
∴${S^'}（x）=-2sinx+（\frac{π}{2}-2x）cosx$，∴S^″=-4cosx-（$\frac{π}{2}$-2x）sinx，
∵$0＜x＜\frac{π}{4}$，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在区间$（0，\frac{π}{4}）$上单调递减，
且${S^'}（0）=\frac{π}{2}＞0$，${S^'}（\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}＜0$，
∴S′（x）在区间$（0，\frac{π}{4}）$存在唯一零点，即为x₀．
令S′（x₀）=0得：$2sin{x_0}=（\frac{π}{2}-2{x_0}）cos{x_0}$，即$tan{x_0}=\frac{π}{4}-{x_0}$．
由不等式$tan{x_0}＞{x_0}（0＜{x_0}＜\frac{π}{2}）$得：$\frac{π}{4}-{x_0}＞{x_0}$，解得：${x_0}＜\frac{π}{8}$，
故选：A．

点评 考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．