Question

设数列，，，已知，，，，，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意，为定值；
（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3）．

试题分析：（1）根据已知条件与待求式，作差，可得，而，故数列是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和
，表面上看不出什么，但由，可得，由由，可以想象，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得，那么其前项和可用分组求和法求得，，这样我们就可求出，，相当于，由于，从而，一直是我们只要求得的最大值和的最小值，则就是，由此可求得的范围．
试题解析：（1）因为，，所以（），     （１分）
所以，，
，   （2分）
即数列是首项为，公比为的等比数列， （3分）
所以．   （4分）
（2）解法一：， （1分）
因为，所以，，
猜测：（）． （2分）
用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；    （3分）
②假设当（）时结论成立，即，那么当时，，即时结论也成立． （5分）
由①，②得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）
解法二：，      （1分）
所以，（4分）
而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值．（6分）
（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）
所以，
所以， （2分）
由得，
因为，所以， （3分）
当为奇数时，随的增大而递增，且，
当为偶数时，随的增大而递减，且，
所以，的最大值为，的最小值为．  （4分）
由，得，解得． （6分）
所以，所求实数的取值范围是．