题目内容
设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=
AB，且对于边AB任一点P，恒有
•
≥
•
，则三角形ABC的形状为 ．
| 1 |
| 4 |
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由题意 P0、P、A、B 四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据
•
≥
•
，得x2-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，得a=0，即得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
解答：
解：根据题意，P0、P、A、B 四点共线，
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
设AB=4，C（a，b），P（x，0），
则A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）；
∵
•
≥
•
，∴（2-x）（a-x）≥a-1，
即 x2-（a+2）x+a+1≥0 恒成立，
∴判别式△=（a+2）2-4（a+1）≤0；
解得a2≤0，
∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，
∴CA=CB，即△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
设AB=4，C（a，b），P（x，0），
则A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）；
∵
| PB |
| PC |
| P0B |
| P0C |
即 x2-（a+2）x+a+1≥0 恒成立，
∴判别式△=（a+2）2-4（a+1）≤0；
解得a2≤0，
∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，
∴CA=CB，即△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，解题时应根据题意，建立适当地直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，以简化运算，是中档题．
练习册系列答案
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
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